Окончил Московский университет. Затем окончил Московское училище живописи, ваяния и зодчества (МУЖВЗ) по мастерской А. М. Васнецова и А. С. Степанова в 1918. Учился также у С. В. Малютина и А. Е. Архипова.

С 1916 года Яковлев начал участвовать в выставках. В 1917 году, будучи студентом МУЖВЗ, художник экспонировал свои произведения на 17-й периодической художественной выставке Нижегородского общества любителей художеств. В 1921 году он выставлялся с группой «Мир искусства». С 1922 участник выставок СРХ. В 1923 художником была написана картина «Транспорт налаживается», вошедшая в золотой фонд советского искусства. Работы Б.Н.Яковлева отличаются широкой манерой письма, пастозной фактурой.

Персональные выставки художника проходили в Москве (1943, 1966) и в Киеве (1959). Произведения Б.Н. Яковлева хранятся в ГТГ, ГРМ, многих региональных музеях.