Окончил ВХУТЕИН (ВХУТЕМАС) (1924—1930). Член ОМАХРР (1928—1929), АХРР (1929—1931), РАПХ (1931—1932). С 1930 г. постоянный участник выставок, проходивших в Советском Союзе и за рубежом. В 1930 г. участвовал в выполнении монументально-декоративных работ по росписи клуба завода «Пролетарий» в Москве. В 1939 г. принял участие в создании монументального панно «Знатные люди Страны Советов» для советского павильона на Международной выставке в Нью-Йорке. Всесоюзную славу и европейскую известность художнику принесла работа «На обед к матерям» (1935), которая имела большой успех в Париже на международной художественной выставке в 1937 г. и была удостоена Золотой медали.

Т.Г. Гапоненко – яркий представитель искусства соцреализма. В истории отечественной живописи он остался художником разносторонней тематической направленности. Картины автора на историко-революционные темы и сюжеты, посвящённые ВО войне, убедительны и достоверны в своём художественном воплощении. Они запоминаются точно найденным композиционным построением, отличаются лёгкостью письма. В основе каждого произведения лежит большая подготовительная работа мастера по изучению фактического и натурного материала.

Многие жанровые произведения Гапоненко посвящены жизни колхозной деревни. Работы художника открывают сегодня современному зрителю образ целой эпохи. Они подкупают поэтическим взглядом автора на действительность. На холстах люди, живущие полной внутренней жизнью, увидены как бы случайно. При этом автор всегда умеет раскрыть и донести глубину жизненных явлений. За простотой сюжета стоит живописная убедительность, тонкий психологизм образов, сила пластического воплощения и колористическая красота. Когда смотришь на работы мастера, понимаешь: для художника нет не интересных сюжетов.

Произведения художника хранятся в ГТГ, ГРМ, Центральном музее Российской Армии, Музее русского искусства в Киеве и др. музеях нашей страны и за рубежом.